直角坐标系中,向量a=(x+2,y),向量b=(x-2,y),且|a|-|b|=2.求点M(x,y)的轨迹C的方程
问题描述：
直角坐标系中,向量a=(x+2,y),向量b=(x-2,y),且|a|-|b|=2.求点M(x,y)的轨迹C的方程
答
√ [(x+2)^2+y^2]-√[(x-2)^2+y^2]=2,M(x,)到(-2，0),(2,0)的距离之差=2，M(x,y)的轨迹为以(-2，0)和(2,0)为焦点，实轴长为2a=2的双曲线的右支，a=1,半焦距c=2,设虚轴长为2b,b^2=c^2-a^2=3,M轨迹x^2-y^2/3=1(x>=1)
答
由题意可得C（p,-2q)，∴c点轨迹为X+Y=1。又联立双曲线与直线，得(1/a^2-1/b^2）X^2+2X/b^2-(1/b^2+1)=0 ∴由韦达定理得X1+X2=(-2/b^2)/(1/a^2-1/b^2), X1*X2=-(1/b^2+1)/(1/a^2-1/b^2)。∴中点坐标为（（-1/b^2)/(1/a^2-1/b^2)，(1/b^2)/2(1/a^2-1/b^2)) ∴又由弦长公式可得MN/2=R=中点坐标到原点距离=√2（X1-X2），联立求解可得1/a^2-1/b^2=2
答
直接用（x+2）的平方加y的平方开根号减去（x-2）的平方加上y的平方开根号等于2,整理后可得C的轨迹方程