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已知函数f（x）=2x−12x+1， （1）判断函数f（x）的奇偶性； （2）求证：f（x）在R上为增函数．

分类: 作业答案 • 2022-08-15 14:06:06
问题描述：

已知函数f（x）=

2x−1
2x+1
，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R上为增函数．

答

（1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）=

2x−1
2x+1
=1-
2
2x+1
，
所以f（-x）+f（x）=（1-
2
2−x+1
）+（1-
2
2x+1
）=2-（
2
2x+1
+
2
2−x+1
）
=2-（
2
2x+1
+
2•2x
2x+1
）=2-
2(2x+1)
2x+1
=2-2=0，
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
（2）设x1，x2∈R，x1＜x2有，f（x1）-f（x2）=
2x1−1
2x1+1
-
2x2−1
2x2+1
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)
，
∵x1＜x2，2x1−2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）＜f（x2），
所以，函数f（x）在R上是增函数；

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