2008年全国卷1数学一题解答已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为⊿ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于?一楼回答者··谢谢你的提示不过我也是这样算的选择题的选项没有算出来的那个答案··
问题描述：
2008年全国卷1数学一题解答
已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为⊿ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于?
一楼回答者··
谢谢你的提示
不过我也是这样算的
选择题的选项没有算出来的那个答案··
答
这道题,重点是求点B1到面ABC的距0离.设点B1到面ABC的距离为a,那么正弦值就是a/AB1.
三棱柱,面ABC和面A1B1C1是平行的.那么点B1到面ABC的距离和点A1到面ABC的距离是一样的.
点A1到面ABC的距离有点麻烦,要做图的.
设点A1在面ABC上的投影为点O.因为O为三角形ABC的中点.设边长为x,那AO就等于x/3(开方).
A1O用勾股定理就能求了.得A1O=(2/3)(开方)x.
即a=(2/3)(开方)AB.正弦值为(2/3)(开方)
开方号没找着.
答
设⊿ABC的中心为O,连接A`O,可知,A`O为⊿ABC的垂线,连接AO,
因为三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,所以可得AO=根3/3*AB A`O=根6/3*AB
过B作BD平行且等于AO 连接B`D
所以,四边形AODB为平行四边形,所以AB平行且等于OD,又因为三棱柱ABC—A1B1C1,所以A`B`平行且等于AB,可得DO平行且等于A`B`
因此四边形A`B`DO为平行四边形,因此B`为
面ABC的垂线,同时可得AD=根21/3*AB
所以AB`=根3*AB
所以AB1与底面ABC所成角为角DAB`
则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于根2/3