设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．已知返回舱返回过程中需克服火星的引力做功W=mgR（1-Rr），返回舱与人的总质量为m，火星表面的重力加速度为g，火星的半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r，不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响，则该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量才能返回轨道舱？（思考：若要考虑火星的自转影响，且已知火星自转角速度为ω，则结果又是多少？）

答

返回舱与人在火星表面附近有：G

mM

R2

=mg
设轨道舱的质量为m₀，速度大小为v，则：
G

Mm0

r2

=m₀

v2

r

解得宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时，具有的动能为
E_k=

1

2

mv²=

mgR2

2r

因为返回舱返回过程克服引力做功W=mgR（1-

R

r

）
所以返回舱返回时至少需要能量E=E_k+W=mgR（1-

R

2r

）
答：该宇航员乘坐的返回舱，不考虑火星自转时，至少需要获得能量为E=mgR(1−

R

2r

)，考虑火星自转时，至少需要获得能量为E′=mgR(1−

R

2r

)−

1

2

mR2ω2．
答案解析：根据火星表面的重力等于万有引力列出等式．
研究轨道舱绕卫星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求解宇航员乘坐返回舱与轨道舱对接时速度．
根据能量守恒求解返回轨道舱至少需要获得的能量．
考试点：万有引力定律及其应用．
知识点：向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．
忽略星球自转的影响，能根据万有引力等于重力列出等式．