在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．
问题描述：
在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．
答
设B、C关于直线y=kx+3对称，故可设直线BC方程为x=-ky+m，代入y2=4x，得 y2+4ky-4m=0．
设B（x1，y1）、C（x2，y2），则 BC中点M（x0，y0），则y0=
=-2k，x0=2k2+m．
y1+y2
2
∵点M（x0，y0）在直线l上，∴-2k=k（2k2+m）+3，∴m=-
．2k3+2k+3 k
又∵BC与抛物线交于不同两点，∴△=16k2+16m＞0．
把m代入化简得
＜0，即
k3+2k+3 k
＜0，解得-1＜k＜0．(k+1)(k2−k+3) k
答案解析：设出B、C两点坐标，得到直线BC方程x=-ky+m，，把直线BC方程与抛物线方程联立，化为一元二次方程，由韦达定理求出BC中点，应用中点在对称轴上，且判别式大于0，可求出k的取值范围．
考试点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
知识点：本题考查点关于线的对称问题，两条直线垂直的性质，中点公式的应用，属于中档题．