高手进,急需!抛物线!设λ>0,点A得坐标为(1,1),点B在抛物线y=x²上运动,点Q满足向量BQ=λ向量QA,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足向量QM=λ向量MP,求点P的轨迹方程设B(X,Y)然后我算出来P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ))消去λ之后和答案不一样.不知道哪里算错了.你们说的方法我都会,但是我想知道自己错在哪里我把B点表示出来之后,求出Q,P点坐标然后把λ消掉之后就不对了。Q(x+λ/1+λ,y+λ/1+λ),P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ))

问题描述:

高手进,急需!抛物线!
设λ>0,点A得坐标为(1,1),点B在抛物线y=x²上运动,点Q满足向量BQ=λ向量QA,经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足向量QM=λ向量MP,求点P的轨迹方程
设B(X,Y)然后我算出来P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ))消去λ之后和答案不一样.不知道哪里算错了.
你们说的方法我都会,但是我想知道自己错在哪里
我把B点表示出来之后,求出Q,P点坐标
然后把λ消掉之后就不对了。
Q(x+λ/1+λ,y+λ/1+λ),P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ))

由 QM→=λMP→知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设P(x,y),Q(x,y0),M(x,x2)则
x^2-y0=λ(y-x^2)即y0=(1+λ)x^2-λy①
再设B(x1,y1)由 BQ→=λQA→得 x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)y0-λ②
将①代入②式得 x1=(1+λ)x-λ
y1=(1+λ)^2x^2-λ(1+λ)y-λ③
又点B在抛物线y=x2
将③代入得(1+λ)^2x^2-λ(1+λ)y-λ=((1+λ)x-λ)^2
整理得2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0因为λ>0所以2x-y-1=0
故所求的点P的轨迹方程:y=2x-1

设B(b,b²), P(x,y), 则M(x, x²)
Q与M的纵坐标相同, 设Q(x, q)
向量BQ = (x-b, q-b²)
向量QA = (1-x, 1-q)
向量QM = (0, x² -q)
向量MP = (0, y - x²)
向量BQ=λ向量QA:
x-b = λ(1-x) (1)
q-b² = λ(1-q) (2)
向量QM=λ向量MP:
x² -q = λ(y - x²) (3)
由(1)(2)(3), 可以消去b, q,但必须保留λ。 一则是题中给出,二则是此时方程个数不够消去λ。
由(1): b = (1+λ)x - λ
带入(2): q = (λ + b²)/(1+λ) = [(1+λ)²x²-2λ(1+λ)x +λ² +λ)/(1+λ)
= (1+λ)x²-2λx + λ
带入(3):
x² - (1+λ)x² + 2λx - λ = λy - λx²
x² - x² - λx² + 2λx - λ = λy - λx²
2λx - λ = λy
y = 2x -1

你没算错啊.你不是算出来P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(y+λ))/(λ^2+λ))
又从已知里面得知y=x^2
那么把y换成x^2得到P(x+λ/1+λ,((x+λ)^2-(x^2+λ))/(λ^2+λ))
化简一下就是
P(x+λ/1+λ,(2x+λ-1))/(λ+1))
假设P是(m,n)
m=(x+λ)/(1+λ)=1+(x-1)/(1+λ)
n=1+2(x-1)/(1+λ)
m-1=(n-1)/2
2m-2=n-1
n=2m-1

y=2x-1
可能是最后化简的时候出了什么问题
最后并不非要消掉λ
只要能够找出P点坐标(m,n)
m与n之间的关系就行.
拿这题来说,把(x-1)/(1+λ)看成一个整体
很容易就能找出m,n之间的关系
当然,这层关系不能受λ的影响,否则就等于没有求出
由题设可知 B 不等于(1,1)
设B=(x,y),Q=(x0,y0),P=(x1,y1)
则B=(x,x^2),M=(x0,x0^2)
方法(一):
因为向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP
变换一下,可知:向量BQ*向量MP=向量QA*向量QM
向量BQ=(x0-x,y0-x^2)
向量MP=(x1-x0,y1-x0^2)
向量QA=(1-x0,1-y0)
向量QM=(0,x0^2-y0)
从"向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP"可知
x1-x0=0
x1=x0
x0-x=λ(1-x0)
x1=x0=(x+λ)/(λ+1)
y0-x^2=λ(1-y0)
y0=(x^2+λ)/(λ+1)
所以
向量BQ=(x1-x,y0-x^2)
向量MP=(0,y1-x1^2)
向量QA=(1-x1,1-y0)
向量QM=(0,x1^2-y0)
因为向量BQ*向量MP=向量QA*向量QM
所以
(y0-x^2)(y1-x1^2)=(1-y0)(x1^2-y0)
变换(注意x0=x1)
y1(y0-x^2)=x1^2(1-x^2)+y0(y0-1)
y1((x^2+λ)/(λ+1)-x^2)=x1^2(1-x^2)+(x^2+λ)((x^2+λ)/(λ+1)-1)/(λ+1)
y1*λ/(λ+1)=x1^2-(x^2+λ)/(λ+1)^2
y1*λ/(λ+1)=(x+λ)^2/(λ+1)^2-(x^2+λ)/(λ+1)^2
y1=1+(2x-2)/(λ+1)=1+2(x-1)/(λ+1)
x1=x0=(x+λ)/(λ+1)=1+(x-1)/(λ+1)
很明显(y1-1)/2=x1-1
所以
y1=2x1-1
所以P的轨迹方程为y=2x-1
即P坐标为
P=(x,y)=(x,2x-1)
方法(二):
向量BQ=(x1-x,y0-x^2)
向量MP=(0,y1-x1^2)
向量QA=(1-x1,1-y0)
向量QM=(0,x1^2-y0)
向量BQ=λ向量QA,向量QM=λ向量MP
x0-x=λ(1-x0)
x=(λ+1)x0-λ
x带入
y0-x^2=λ(1-y0)
y0=(x^2-λ)/(λ+1)
y0带入
x0^2-y0=λy1-x0^2
因为x0=x1
x1^2-y0=λy1-x1^2
化简可得
λy=2λx-λ
y=2x-1

y1=(1+λ)^2x^2-λ(1+λ)y-λ③又点B在抛物线y=x2 将③代入得(1+λ)^2x^2-λ(1+λ)y-λ=((1+λ)x-λ)^2 整理得2λ(1+