在下图中,直线l所对应的函数关系式为y=-15x+5,l与y轴交于点C,O为坐标原点.(1)请直接写出线段OC的长;(2)已知图中A点在x轴的正半轴上,四边形OABC为矩形,边AB与直线l相交于点D,沿直线l把△CBD折叠,点B恰好落在AC上一点E处,并且EA=1.①试求点D的坐标;②若⊙P的圆心在线段CD上,且⊙P既与直线AC相切,又与直线DE相交,设圆心P的横坐标为m,试求m的取值范围.

问题描述:

在下图中,直线l所对应的函数关系式为y=-

1
5
x+5,l与y轴交于点C,O为坐标原点.
(1)请直接写出线段OC的长;
(2)已知图中A点在x轴的正半轴上,四边形OABC为矩形,边AB与直线l相交于点D,沿直线l把△CBD折叠,点B恰好落在AC上一点E处,并且EA=1.
①试求点D的坐标;
②若⊙P的圆心在线段CD上,且⊙P既与直线AC相切,又与直线DE相交,设圆心P的横坐标为m,试求m的取值范围.

(1)OC=5;
(2)①解法一:设D点的横坐标为m,由已知得,
它的纵坐标为:-

1
5
m+5
∴BC=OA=m,CA=CE+AE=m+1,
在Rt△OAC中,OA2+OC2=AC2,即m2+52=(m+1)2
解得m=12.
1
5
m+5=
13
5
,即D点的坐标为(12,
13
5
)

解法二:设D点的横坐标为m,由已知得,
它的纵坐标为:-
1
5
m+5,∴AD=-
1
5
m+5,DE=AB-AD=
1
5
m,
在Rt△ADE,EA2+ED2=AD2,即12+(
1
5
m)2=(-
1
5
m+5)2,解得m=12,
∴-
1
5
m+5=
13
5
,即D点的坐标为(12,
13
5
);
解法三:设D点的横坐标为m,由已知得,它的纵坐标为:-
1
5
m+5,
在Rt△OAC和Rt△ADE中,∠AOC=∠AED=90°,∠ACO+∠OAC=90°,∠OAC+∠EAD=90°,
∴∠ACO=∠EAD,
∴Rt△OAC∽Rt△ADE,
AC
AD
OC
AE
,即:
m+1
1
5
m+5
5
1
,解得m=12,
∴-
1
5
m+5=
13
5
,即D点的坐标为(12,
13
5
);

②由于△BCD和△CDE关于直线L对称,
所以⊙P与直线AC相切,与DE相交相当于与直线BC相切,与BD相交,
过点P作PM⊥OA,交OA于M,交BC于N;作PH⊥AB,交AB于H,
由题意知:只要PN>PH即可,
PN=MN-PM=
1
5
m
,PH=12-m,即:
1
5
m
>12-m,解得m>10,
又P在线段CD上,所以m≤12,
即m的取值范围是10<m≤12.
答案解析:(1)直线l所对应的函数关系式为y=-
1
5
x+5,则b=5,所以点C的坐标为(0,5),OC=5;
(2)①:设D点的横坐标为m,点D在直线l上,则它的纵坐标为:-
1
5
m+5由于四边形CBAO是矩形,有BC=OA=m,CA=CE+AE=m+1
在Rt△OAC中,由勾股定理知,OA2+OC2=AC2,即m2+52+(m+1)2,求解可得到m的值,从而求得D点的坐标为(12,
13
5
);
②由于△BCD和△CDE关于直线L对称,所以⊙P与直线AC相切,与DE相交相当于与直线BC相切,与BD相交,过点P作PM⊥OA,交OA于M,交BC于N,作PH⊥AB,交AB于H,由题意知:只要PN>PH即可,就可求得m的取值范围.
考试点:翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质;一次函数图象上点的坐标特征;勾股定理;矩形的性质;切线的性质;相似三角形的判定与性质.

知识点:本题利用了:①折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等;②一次函数的图象的性质,矩形的性质,相切的概念,全等三角形的判定和性质,勾股定理求解.