把正整数列按如下规律排列:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,…问:(I)此表第n行的第一个数是多少?(II)此表第n行的各个数之和是多少?(III)是否存在n∈N*,使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.

问题描述:

把正整数列按如下规律排列:
1,
2,3,
4,5,6,7,
8,9,10,11,12,13,14,15,

问:(I)此表第n行的第一个数是多少?
(II)此表第n行的各个数之和是多少?
(III)是否存在n∈N*,使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.

(I)由已知得出每行的正整数的个数是1,2,4,8,…,其规律:
1=21-1
2=22-1
4=23-1
8=24-1
…,
由此得出第n行的正整数个数为:2n-1
(II)由(I)得到第n行的第一个数,且此行一共有2 n-1个数,从而利用等差数列的求和公式得:
第n行的各个数之和S=

2n−1(2n−1+2n−1)
2
3•22n−22n−1
2
=
3
8
4n
1
4
2n
…(5分)
(III)第n行起的连续10行的所有数之和S
3
8
4n(1+4+…49)−
1
4
2n(1+2+…+29)

=2n-2(2n+19-2n-1-1023),…(7分)
又227-213-120=23(224-210-15)
若存在n使得S′=227-213-120,
则2n-2(2n+19-2n-1-1023)=23(224-210-15)…(*)
所以n-2≥3,所以n≥5.n=5时,(*)式成立,
n>5时由(*)可得2n-5(2n+19-2n-1-1023)=224-210-15,
此等式左边偶数右边奇数,不成立.
所以满足条件的n=5.…(10分)
答案解析:(I)观察已知排列的数,依次正整数的个数是,1,2,4,8,…,分析得出是规律,根据规律求出第n行的正整数个数.
(II)由(I)得到第n行的第一个数,且此行一共有2 n-1个数,从而利用等差数列的求和公式即可计算第n行的各个数之和;
(III)对于存在性问题,可先假设存在,即存在n使得S′=227-213-120,再利用(II)的结论,构建等式,若出现矛盾,则说明假设不成立,即不存在;否则存在.
考试点:归纳推理;等差数列与等比数列的综合.
知识点:此题考查的知识点是等差数列与等比数列的综合、图形数字的变化类问题,同时考查学生分析归纳问题的能力,其关键是从每行的正整数个数1,2,,4,8,…这列数找出规律解答.