把正整数列按如下规律排列: 1, 2,3, 4,5,6,7, 8,9,10,11,12,13,14,15, … 问:(I)此表第n行的第一个数是多少? (II)此表第n行的各个数之和是多少? (III)是否存在n∈N*,
问题描述:
把正整数列按如下规律排列:
1,
2,3,
4,5,6,7,
8,9,10,11,12,13,14,15,
…
问:(I)此表第n行的第一个数是多少?
(II)此表第n行的各个数之和是多少?
(III)是否存在n∈N*,使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120?若存在,求出n的值;若不存在,说明理由.
答
(I)由已知得出每行的正整数的个数是1,2,4,8,…,其规律:
1=21-1,
2=22-1,
4=23-1,
8=24-1,
…,
由此得出第n行的正整数个数为:2n-1.
(II)由(I)得到第n行的第一个数,且此行一共有2 n-1个数,从而利用等差数列的求和公式得:
第n行的各个数之和S=
=
2n−1(2n−1+2n−1) 2
=3•22n−2−2n−1
2
•4n−3 8
•2n…(5分)1 4
(III)第n行起的连续10行的所有数之和S′=
•4n(1+4+…49)−3 8
•2n(1+2+…+29)1 4
=2n-2(2n+19-2n-1-1023),…(7分)
又227-213-120=23(224-210-15)
若存在n使得S′=227-213-120,
则2n-2(2n+19-2n-1-1023)=23(224-210-15)…(*)
所以n-2≥3,所以n≥5.n=5时,(*)式成立,
n>5时由(*)可得2n-5(2n+19-2n-1-1023)=224-210-15,
此等式左边偶数右边奇数,不成立.
所以满足条件的n=5.…(10分)