(2012•和平区一模)一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面积最大,点E应选在何处?
问题描述:
(2012•和平区一模)一块三角形废料如图所示,∠A=30°,∠C=90°,AB=12.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D、E、F分别在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面积最大,点E应选在何处?
答
在Rt△ABC中,∠A=30°,AB=12,∴BC=6,AC=AB•cos30°=12×32=63.∵四边形CDEF是矩形,∴EF∥AC.∴△BEF∽△BAC.∴EFAC=BEBA.设AE=x,则BE=12-x.EF=63(12−x)12=32(12−x).在Rt△ADE中,DE=12AE=12x....
答案解析:首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12,求得BC=6、AC的长,然后根据四边形CDEF是矩形得到EF∥AC从而得到△BEF∽△BAC,设AE=x,则BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE,然后表示出有关x的二次函数,然后求二次函数的最值即可.
考试点:相似三角形的应用;二次函数的最值.
知识点:本题考查了相似三角形的应用及二次函数的应用,解题的关键是从几何问题中整理出二次函数模型,并利用二次函数的知识求最值.