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函数f(x)＝log9(x+8−ax)在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

分类: 作业答案 • 2022-08-04 22:03:10
问题描述：

函数f(x)＝log9(x+8−

a
x
)在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围．

答

∵函数f(x)＝log9(x+8−

a
x
)在[1，+∞）上是增函数，
∴对任意的1≤x1＜x2，有f（x1）＜f（x2），
即log9(x1+8−
a
x1
)＜log9(x2+8−
a
x2
)，
得x1+8−
a
x1
＜x2+8−
a
x2
，即(x1−x2)(1+
a
x1x2
)＜0，
∵x1-x2＜0，∴1+
a
x1x2
＞0，
a
x1x2
＞−1，a＞-x1x2，
∵x2＞x1≥1，∴要使a＞-x1x2恒成立，只要a≥-1；
又∵函数f(x)＝log9(x+8−
a
x
)在[1，+∞）上是增函数，∴1+8-a＞0，
即a＜9，综上a的取值范围为[-1，9）．
另（用导数求解）令g(x)＝x+8−
a
x
，
函数f(x)＝log9(x+8−
a
x
)在[1，+∞）上是增函数，
∴g(x)＝x+8−
a
x
在[1，+∞）上是增函数，g′(x)＝1+
a
x2
，
∴1+8-a＞0，且1+
a
x2
≥0在[1，+∞）上恒成立，得-1≤a＜9．
答案解析：由函数f(x)＝log9(x+8−
a
x
)在[1，+∞）上是增函数可以得到两个信息：
①对任意的1≤x1＜x2，总有f（x1）＜f（x2）；
②当x≥1时，x+8−
a
x
＞0恒成立．
考试点：复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点．
知识点：本题主要考查对数函数的单调性，即当底数大于1是对数函数单调递增，当底数大于0小于1时对数函数单调递减．

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