如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连接DE，DF．（1）求证：△BEF∽△CEG；（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由；（3）设BE=x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

答

（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DG，
所以∠B=∠GCE，∠G=∠BFE，
所以△BEF∽△CEG．
（2）△BEF与△CEG的周长之和为定值．
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，
因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．
所以FH=CG，FG=CH，
因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴

AB

BC

＝

AM

CH

由BC=10，AB=5，AM=4，
可得CH=8，
∴BH=6，
所以BC+CH+BH=24；
理由二：由AB=5，AM=4，可知：
在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：EF=

4

5

BE，BF=

3

5

BE，GE=

4

5

EC，GC=

3

5

CE，
所以，△BEF的周长是

12

5

BE，△ECG的周长是

12

5

CE，
又BE+CE=10，因此△BEF与△CEG的周长之和是24．
（3）设BE=x，则EF=

4

5

x，GC=

3

5

（10-x），
所以y=

1

2

EF•DG=

1

2

•

4

5

x[

3

5

（10-x）+5]=-

6

25

x²+

22

5

x，
配方得：y=-

6

25

（x-

55

6

）²+

121

6

．
所以，当x=

55

6

时，y有最大值．
最大值为

121

6

．
答案解析：（1）有AB∥DG，即可直接得到两个三角形相似．
（2）两个三角形的周长之和是定值．利用勾股定理可求出BM=3，又因为Rt△BEF∽Rt△BAM，令BE=x，那么根据相似比，可用含x的代数式分别表示EF，BF，同样在△CEG中，令CE=y，可用含y的代数式表示CG，EG，又x+y=10，那么能求出两三角形的周长和是

12

5

（x+y）=24．
（3）利用相似比、勾股定理可得EF=

4

5

x，CG=

3

5

（10-x），那么利用三角形的面积公式，可得到y与x的关系式，再根据二次函数求最大值来求即可．
考试点：二次函数综合题；三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
知识点：本题利用了被两条平行线所截的两个三角形相似，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式，二次函数求最大值的问题．