一条直线L和双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1以及它的两条渐近线都相交,交点在L的顺序为A,B,C,D,求证：|AB|=|CD|貌似跟参数有关
问题描述：
一条直线L和双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1以及它的两条渐近线都相交,交点在L的顺序为A,B,C,D,求证：|AB|=|CD|
貌似跟参数有关
答
设直线方程y=kx+m 与双曲线X^2/A^2-Y^2/B^2=1联立，得到AD的中点坐标。
再与渐近线方程X^2/A^2-Y^2/B^2=0联立，得到BC的中点坐标
这两个中点的坐标是一样的，设这P
即：AP＝PD， BP＝PC
相减得：｜AB｜＝｜CD｜
答
分析：要证|AB|=|CD|,由平面几何知识,只须证AD与BC 的中点重合.
直线的斜率显然存在.
设直线方程y=kx+t.代入双曲线方程得：
[b^2-(a^2)(k^2)]x^2-2kta^2x-a^2t^2-a^2b^2=0
由韦达定理,x1+x2=2kt(a^2)/[b^2-(a^2)(k^2)].
双曲线的渐近线y=±(b/a)x,把y=kx+t分别代入求得：x3+x4=2kt(a^2)/[b^2-(a^2)(k^2)],
∴x1+x2=x3+x4,
∴AD与BC的中点重合,由平面几何知识,|AB|=|CD|.