一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_.

问题描述:

一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为______.

已知:如图,AD∥BC,AB=CD,E,N,F,M分别是边AB,BC,CD,DA的中点,且EF2+MN2=8.
求:这个等腰梯形的对角长.
过点D作DK∥AC交BC的延长线于K,过点D作DH⊥BC于H,
∵AD∥BC,AB=CD,E,N,F,M分别是边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EF=

1
2
(AD+BC),MN⊥BC,AC=BD,
∴四边形ACKD是平行四边形,
∴DK=AC=BD,CK=AD,
∴BH=KH=
1
2
BK=
1
2
(BC+CK)=
1
2
(BC+AD),
∴BH=EF,
∵四边形MNHD是矩形,
∴DH=MN,
∴在Rt△BDH中,BD2=BH2+DH2=EF2+MN2=8,
∴BD=2
2

∴这个等腰梯形的对角线长为2
2

故答案为:2
2