（理科）已知圆C：x2+y2=1和点Q（2，0），动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

分类: 作业答案 • 2022-07-25 22:06:27

问题描述：

（理科）已知圆C：x²+y²=1和点Q（2，0），动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ＞0），求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？

答

如图，设MN切圆于N，则动点M组成的集合是P={M||MN|=λ|MQ|}，式中常数λ＞0．因为圆的半径|ON|=1，所以|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1．
设点M的坐标为（x，y），则

x2+y2−1

=λ

(x−2)2+y2

整理得（λ²-1）（x²+y²）-4λ²x+（1+4λ²）=0．
经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P．故这个方程为所求的轨迹方程．
当λ=1时，方程化为x=

，它表示一条直线，该直线与x轴垂直且交x轴于点（

，0），
当λ≠1时，方程化为（x-

2λ2

λ2−1

）²+y²=

1+3λ2

(λ2−1)2

它表示圆，该圆圆心的坐标为（

2λ2

λ2−1

，0），半径为

1+3λ2

|λ2−1|

．