已知x、y、z是三个非负整数,满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,则s的最大值与最小值的和为 ___ .

问题描述:

已知x、y、z是三个非负整数,满足3x+2y+z=5,x+y-z=2,若s=2x+y-z,则s的最大值与最小值的和为 ___ .

法1:要使S取最大值,2x+y最大,z最小,
∵x、y、z是三个非负整数,
∴z=0,解方程组

3x+2y=5
x+y=2
,解得:
x=1
y=1

∴S的最大值=2×1+1-0=3;
要使S取最小值,
联立得方程组
3x+2y+z=5(1)
x+y-z=2(2)

(1)+(2)得4x+3y=7,y=
7-4x
3

(1)-(2)×2得,x+3z=1,z=
1-x
3

把y=
7-4x
3
,z=
1-x
3
代入S=2x+y-z,整理得,S=x+2,当x取最小值时,S有最小值,
∵x、y、z是三个非负整数,
∴x的最小值是1,
∴S最小=3,
∴S的最大值与最小值的和:3+3=6;
法2:∵x+y-z=2,S=2x+y-z,
∴S=x+2,
∵3x+2y+z=5,x+y-z=2,
∴y=
7-4x
3
或z=
1-x
3

∵x,y,z为三个非负有理数,
7-4x
3
≥0①,
1-x
3
≥0②,
解不等式①得,x≤
7
4

解不等式②得,x≤1,
∴x≤1,
又x,y,z为三个非负有理数,
∴0≤x≤1,
∴S的最大值3,最小值3,
则S的最大值与最小值的和:3+3=6.
故答案为:6.
答案解析:根据题意,先推断出S取最大值与最小值时的x、y、z的值,再求S的最大值与最小值的和.
考试点:函数最值问题.
知识点:本题考查了函数的最值问题.解答时,在给定的范围内(x、y、z是三个非负整数),求一个代数式s=2x+y-z的最值问题,难度较大.所以采取了化归思想,例如,将问题转化为“要使S取最大值,2x+y最大,z最小”.