E,F,G,H分别是BC,AD,AB,CD的中点,△ABC为正三角形,且DA=DB=DC.求证:FE=GHD在△ABC所在平面外
问题描述:
E,F,G,H分别是BC,AD,AB,CD的中点,△ABC为正三角形,且DA=DB=DC.求证:FE=GH
D在△ABC所在平面外
答
D必然位于三角形ABC内的正中。反证可以证明
所以FE=GH
答
证明:△ABC为正三角形
可知D是△ABC的中心
所以CG是三角形AB边的中线和垂线,且CG过D点,
AE是三角形BC边的中线和垂线,且过D点
又△ABC为正三角形 所以CG等于AE
又DA=DC所以
AF=CH
FE=AE-AF GH=CG-CH
所以 FE=GH
答
△ABC为正三角形,DA=DB=DC则D是△ABC的外心,也是它的重心,
所以AD=2DE,CD=2DG
则:DF=AD/2=DE,DH=CD/2=DG
而正三角形中各边上的中线都相等,可知:AE=CG,即:3DE=3DG,即:DE=DG
所以:FE=DE+DF=2DE=2DG=DG+DH=GH