直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．
问题描述：
直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．
答
根据题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成
它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长
∵两直角边边长分别为3和4，
∴斜边长为
=5，
32+42
由面积公式可得斜边上的高为h=
=3×4 5
12 5
可得所求旋转体的底面半径r=
12 5
因此，两个圆锥的侧面积分别为
S上侧面=π×
×4=12 5
；S下侧面=π×48π 5
×3=12 5
36π 5
∴旋转体的表面积S=
+48π 5
=36π 5
84π 5
由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=
π×(1 3
)2×5=12 5
48π 5
答案解析：由题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成．利用解三角形知识，算出圆锥的底面半径，结合锥体的侧面公式得到旋转体的表面积S=
，再由锥体的体积公式，算出体积为V=84π 5
．48π 5
考试点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
知识点：本题给出直角三角形旋转一周，求转成的几何体的体积和表面积．着重考查了圆锥的侧面积公式、积体公式和解三角形等知识，属于基础题．