如图,PQ=10,以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P,与正方形ABCD切于点Q,其中A、B两点在⊙O上.若AB=m+n,其中m、n是整数,求m+n的值.

问题描述:

如图,PQ=10,以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P,与正方形ABCD切于点Q,其中A、B两点在⊙O上.若AB=m+

n
,其中m、n是整数,求m+n的值.

连接OA,∵两圆内切,∴P、Q、O共线,设过P、Q、O的直线交AB于R,AB=x,则OQ=OP-PQ=10,RO=RQ-OQ=x-10,(2分)∵CD与小圆切于点Q,∴QR⊥CD,QR⊥AB,∴根据垂径定理知AR=12AB=12x,(4分)∴在Rt△OAR中,OA2=OR2+...
答案解析:连接OA,根据两圆内切可得出P、Q、O共线,设过P、Q、O的直线交AB于R,AB=x,根据图示数量关系得到RO=RQ-OQ=x-10,利用垂径定理和勾股定理求出x的值,进而求出m、n的值.
考试点:相切两圆的性质;勾股定理;垂径定理.
知识点:此题不仅考查了相切两圆的性质,还涉及勾股定理和垂径定理,从图中得到RO=RQ-OQ是解题的关键,要善于观察图形的特点.