其中有一种三星系统,三颗质量相等的恒星位于等边三角形的三个顶点,它们绕三角形的中心匀速转动,三角形边长为r,其它星体对它们的引力作用为0,绕中心旋转周期为T,每颗星均可看作是质点,试求这三颗星的总质量

问题描述:

其中有一种三星系统,三颗质量相等的恒星位于等边三角形的三个顶点,它们绕三角形的中心匀速转动,三角形边长为r,其它星体对它们的引力作用为0,绕中心旋转周期为T,每颗星均可看作是质点,试求这三颗星的总质量

设一个的质量为m
它们之间的万有引力为 (Gm^2)/(r^2)
每个星球都受到两个力的作用,合成得向心力为 [根号三]*(Gm^2)/(r^2)
所以T=[根号三]*(Gm^2)/(r^2)
由于T、r已知,G为万有引力常数,只有m未知
所以可以将m解出。

设每个星圆周运动的半径为R
任意两个星的万有引力为:F=Gm^2/r^2
所以任意一个星受到的合力为:F合=2Fcos30°
F合=mR(2π/T)^2
根据几何关系可得:Rcos30°=r/2
联立以上各式求解可得:m=4π^2*r^3/(3GT^2)
所以所求总质量为3m=4π^2*r^3/(GT^2)

根据几何关系,三角形顶点到三角形中心的距离(即圆周运动的半径)为:
R=√3r/3
每两颗星之间的万有引力:
F=G*m²/r²
每颗星受另外两颗星引力的合力:
Fh=2F*sin60°=2*(G*m²/r²)*√3/2=√3G*m²/r²
角速度ω=2π/T
每颗星的向心力:Fn=mω²R=4√3m*π²*r/(3T²)
Fh=Fn
√3G*m²/r²=4√3m*π²*r/(3T²)
m=4π²*r³/(3G*T²)
三颗星的总质量:3m=4π²*r³/(G*T²)