已知某函数曲线上的点的切线斜率是其横坐标的5倍,该曲线过点(1,7)求该曲线的函数表达式

问题描述:

已知某函数曲线上的点的切线斜率是其横坐标的5倍,该曲线过点(1,7)求该曲线的函数表达式

函数曲线上的点的切线斜率是其横坐标的5倍,说明:y’=5x
积分,可得函数:y=2.5x&sup2+C(C为常数)
曲线过点(1,7),代入解得C=4.5
∴函数表达式为:y=2.5x&sup2+4.5

设切线方程为y=kx+b (k≠0)
∵切线斜率是其横坐标的5倍
∴k=5*1=5
∵该曲线过点(1,7)
∴7=5+b b=2
切线方程:y=5x+2
曲线方程为,切线方程的积分函数:
y=(5/2)x^2+2x+C (c为常数)
代入点(1,7)得:
7=(5/2)+2+c
c=5/2
曲线方程:y=(5/2)x^2+2x+(5/2)

根据题意,有f'(x)=5x
那么对导函数取积分就有:f(x)=(5/2)*x^2+C
代入已知点的坐标,得f(x)=2.5x^2+4.5

dy/dx=5x积分得y=5/2x^2+C
将(1,7)代入得y=(5x^2+9)/2