如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.

问题描述:

如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A、B两点.

(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.

(1)设抛物线C:y2=2px(p>0),则2p=8,从而p=4
因此焦点F(2,0),准线方程为x=-2;
(2)证明:作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C,D.

则由抛物线的定义,可得|FA|=|AC|,|FB|=|BD|
设A(x1,y1),B(x2,y2),则|FA|=|AC|=|FA|cosα+4,∴|FA|=

4
1−cosα

同理|FB|=
4
1+cosα

记直线m与AB的交点为E,则|FE|=|FA|-|AE|=|FA|-
|FA|+|FB|
2
=
1
2
(|FA|−|FB|)
=
4cosα
sin2α

∴|FP|=
|FE|
cosα
=
4
sin2α

∴|FP|-|FP|cos2α=
4
sin2α
(1-cos2α)=8.
答案解析:(1)根据抛物线的标准方程,可求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;
(2)作AC⊥l,BD⊥l,垂足为C,D,求出|FA|,|FB|,即可得到结论.
考试点:直线与圆锥曲线的关系;抛物线的标准方程.
知识点:本题考查抛物线的几何性质,考查抛物线的定义,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.