如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0<a<根号2),建立空间直角坐标系,(1)求MN的长(2)当a为何值时,MN的长度最小

问题描述:

如图,正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且平面ABCD与平面ABEF互相垂直,点M在AC上移动,点N在BF上移动.若CM=BN=a(0<a<根号2),建立空间直角坐标系,
(1)求MN的长
(2)当a为何值时,MN的长度最小

ad

d

取A(0.0,0)D(1,0,0)B(0,1,0),F(0,0,1)则M(1-a/√2,1-a/√2.0),N(0,1-a/√2,a/√2,)⑴ MN的长L=√[(1-a/√2)²+(a/√2)²]=√[(a-√2/2)²+1/2]⑵ a=√2/2时,L有最小值√(1/2) [...

N²=(a*sin45°)²+(1-a*sin45°)²
=a²/2 + 1 -a*根号2 + a²/2
=1+a² -a*根号2
=1-(a*根号2 - a²)
=1-a*(根号2-a)
MN的长最小,则MN²最小
使“a*(根号2-a)”最大
a和(根号2-a)之和是常数,则
当a = 根号2-a 时“a*(根号2-a)”最大
=> a=(根号2)/2时MN的长最小.