如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:(1)DE=1;(2)AB边上的高为3;(3)△CDE∽△CAB;(4)△CDE的面积与△CAB面积之比为1:4.其中正确的有(  )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

问题描述:

如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:
(1)DE=1;
(2)AB边上的高为

3

(3)△CDE∽△CAB;
(4)△CDE的面积与△CAB面积之比为1:4.
其中正确的有(  )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

∵DE是它的中位线,∴DE=

1
2
AB=1,故(1)正确,
∴DE∥AB,∴△CDE∽△CAB,故(3)正确,
∴S△CDE:S△CAB=DE2:AB2=1:4,故(4)正确,
∵等边三角形的高=边长×sin60°=2×
3
2
=
3
,故(2)正确.
故选D.
答案解析:根据图形,利用三角形中位线定理,可得DE=1,(1)成立;AB边上的高,可利用勾股定理求出等于
3
,(2)成立;DE是△CAB的中位线,可得DE∥AB,利用平行线分线段成比例定理的推论,可得△CDE∽△CAB,(3)成立;由△CDE∽△CAB,且相似比等于1:2,那么它们的面积比等于相似比的平方,就等于1:4,(4)也成立.
考试点:三角形中位线定理;等边三角形的性质;平行线分线段成比例;相似三角形的判定与性质.
知识点:本题利用了:1、三角形中位线的性质;2、相似三角形的判定:一条直线与三角形一边平行,则它所截得三角形与原三角形相似;3、相似三角形的面积等于对应边的比的平方;4、等边三角形的高=边长×sin60°.