这个级数求和,用高数能求吗还是要用复变?1+1/2^2+1/3^2.+1/N^2+.高数的就可以，
问题描述：
这个级数求和,用高数能求吗还是要用复变?
1+1/2^2+1/3^2.+1/N^2+.
高数的就可以，
答
这个要用点高数了
1+1/2^2+1/3^2......+1/N^2+......=[Pi]^2/6
这个过程有点复杂，简而言之，就是用一个傅立叶级数展开式，取特殊值求得这个数列的和。
至于傅立叶级数，和那个特殊函数的展开式，就实在不是一时半会儿说的清楚的了。
我简单说一下
有周期函数f(x)=-x(-pi这个周期函数可以展开为：
f(x)=pi/2-(4/pi)(cos(x)+(1/3^2)cos(3x)+(1/5^2)cos(5x)...)
当x=0时可以得到
0=pi/2-4/pi(1+1/3^2+1/5^2....)
得到：
pi^2/8=1+1/3^2+1/5^2....
现在设：
a1=1+1/2^2+1/4^2....
a3=1+1/3^2+1/5^2+....
a4=1/2^2+1/4^2+1/6^2...
从上面的式子，a4=(1/4)a1
a1=a3+a4=a4+(1/4)a1
所以a1=(3/4)a3=pi^2/6
答
介绍一下欧拉的方法
sinx/x泰勒展开=sinx=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+x^8/9!-……
sinx/x的根为Kpi（k!=0）
sinx/x=(1-(x/pi)^2)(1-(x/2pi)^2)*.(1-(x/kpi)^2)*.
比较X^2项的系数,可得
1+1/2^2+1/3^2.+1/k^2+.=pi^2/6
sinx=x(1-(x/pi)^2)(1-(x/2pi)^2)*.(1-(x/kpi)^2)*.
也即sinx的连乘级数展开