证明方程有几个根的时候,怎么判断范围?
问题描述：
证明方程有几个根的时候,怎么判断范围?
如 证明方程1+x+x²/2+x³/6=0只有一个实根.
为什么要判断它在f（0）,f（-2).即在（-2,0）?不是判断别的范围
还有证明 sin x =x+1 只有一个实根 为什么范围在（0,-π）?
为什么当f'(x)在（0,1)内单调递增,f（x）在（0,1)至多有一个实根?
而有些别的题中f' (x)函数是单调递减也是至多有一个实根?比如证明 sin x =x+1
答
首先,如果函数f(x)在某个区间是单调的,那方程f(x)=0在此区间最多只有一个根, 这很好理解,假如有2个不同点x1, x2, 使得f(x1)=f(x2)=0, 那就与区间单调矛盾了.
其次,如果可以找到两个x1, x2,其函数值f(x1), f(x2)异号,那么在(x1, x2)区间必至少有一个根.如果此区间还是单调的,那就只有一个根了.
比如上面的方程sinx=x+1, 化为x+1-sinx=0
令f(x)=x+1-sinx
f'(x)=1-cosx>=0, 因此函数单调增,最多只有一个零点
而f(0)=1>0
f(-π)=-π+1因此在（-π,0）区间有唯一根.关于证明sinx=x+1和1+x+x²/2+x³/6=0 这2个题，因为2个题都没有说明在那个范围，我是看不懂为什么在（-π，0）和（-2，0）这2个范围？还有那个我可以理解为只要是f（x）在某个区间内单调递增或单调递减都至多只有一个实根吗？这个范围你可以随便取，当然取的区间越小越接近根的值而已。而所取的值是主要是为了方便计算及判断。比如f(0)通常容易计算。 f（x）在某个区间内单调递增或单调递减，那么“在此区间”至多只有一个实根！