f(x)是定义在R上的函数,且f(x)>0恒成立,若f(x-y)=f(x)/f(y)对任意xy成立,且f(1)=3,若x>0,则f(x)>1?
问题描述：
f(x)是定义在R上的函数,且f(x)>0恒成立,若f(x-y)=f(x)/f(y)对任意xy成立,且f(1)=3,若x>0,则f(x)>1?
答
令y=0时候,代入可以求出f(0)=1;
令x=2,y=1,代入可以求出f(2)=3^2;
令x=3,y=2,代入可以求出f(3)=3^3.
可以猜测f(n)=3^n.
下面用数学归纳法证明：
当n=0,f(0)=3^0=1成立,
设n=k时候,有f(k)=3^k成立,则当n=k+1时候,有：
f(k+1)=f[k-(-1)]=f(k)/f(-1)=3^k/f(-1).
令x=0,y=1,代入已知条件得到f(-1)=f(0)/f(1)=1/3,所以
f(k+1)=3^k/(1/3)=3^(k+1)
得证.
所以有当x>0时候,f(x)=3^x>3^0=1成立.