如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少;(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.

问题描述:

如图,把一张长10cm,宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计).

(1)要使长方体盒子的底面积为48cm2,那么剪去的正方形的边长为多少;
(2)你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由;
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是否有侧面积最大的情况?如果有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长;如果没有,请你说明理由.

(1)设正方形的边长为xcm,则(10-2x)(8-2x)=48.
即x2-9x+8=0.
解得x1=8(不合题意,舍去),x2=1.
∴剪去的正方形的边长为1cm.
(2)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2
则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2(8-2x)x.
即y=-8x2+36x.(0<x<4)
改写为y=-8(x-

9
4
2+
81
2

∴当x=2.25时,y最大=40.5.
即当剪去的正方形的边长为2.25cm时,长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2
(3)有侧面积最大的情况.
设正方形的边长为xcm,盒子的侧面积为ycm2
若按图1所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(8-2x)x+2•
10−2x
2
•x.
即y=-6(x-
13
6
2+
169
6

∴当x=
13
6
时,y最大=
169
6

若按图2所示的方法剪折,则y与x的函数关系式为:
y=2(10-2x)x+2•
8−2x
2
•x.
即y=-6(x-
7
3
2+
98
3

∴当x=
7
3
时,y最大=
98
3

比较以上两种剪折方法可以看出,按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪去的正方形的边长为
7
3
cm时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为
98
3
cm2
答案解析:(1)可设正方形的边长为x,可根据矩形的面积公式,用x表示出长方体盒子底面的长和宽,得出方程求出x的值.
(2)同(1)先用x表示出不同侧面的长,然后根据矩形的面积将4个侧面的面积相加,得出关于侧面积和正方形边长的函数式,然后根据函数的性质和自变量的取值范围来得出侧面积的最大值.
(3)方法同(2)只不过要分两种情况进行讨论,一种是在矩形的长边剪去2个小长方形(如图1),一种是在矩形的宽上剪去两个小长方形(如图2).
考试点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.
知识点:本题主要考查了矩形的面积的求法,二次函数的应用等知识点,根据面积的计算方法正确的表示出二次函数是解题的关键.