已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB1;(Ⅱ)求这个几何体的体积.

问题描述:

已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

(Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB1
(Ⅱ)求这个几何体的体积.

(Ⅰ)证明:取CB1的中点P,连MP,∵已知M为CB中点,∴MP∥BB1且MP=

1
2
BB1
由三视图可知,四边形ABB1N为直角梯形,∴AN∥BB1且AN=
1
2
BB1(2分)
∴MP∥AN且MP=AN,∴四边形ANPM为平行四边形,∴AM∥NP,(4分)
又AM⊄平面CNB1,PN⊂平面CNB1,∴AM∥平面CNB1(6分)
(Ⅱ)∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB1两两垂直.
∴BC⊥BA,BC⊥B1B且BB1与BA相交于B,
∴BC⊥平面AB1BN,BC为三棱锥C-ABN的高(8分)
取B1B的中点Q,连QN,∵四边形ABB1N为直角梯形且AN=
1
2
BB1=4,
四边形ABQN为正方形,NQ⊥BB1,又BC⊥平面ABB1N,∵QN⊂平面ABB1N∴BC⊥NQ,且BC与BB1相交于B,∴NQ⊥平面C1B1BC,NQ为四棱锥N-CBB1C1的高(10分)
∴几何体ABC-NB1C1的体积V=VC−ABN+VN−CBB1C1
1
3
CB•S△ABN+
1
3
NQ•SBCC1B1

=
1
3
×4×
1
2
×4×4+
1
3
×4×4×8=
160
3
(12分)
答案解析:(I)取CB1的中点P,连MP,由已知中M为CB中点,根据矩形及梯形的性质,我们易得MP∥AN且MP=AN,即四边形ANPM为平行四边形,进而根据平行四边形的性质,得到AM∥NP,再由线面垂直的判定定理,得到答案.
(II)这个几何体的体积由四棱锥N-CBB1C1和三棱锥C-ABN组成,由已知中的三视图的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,则B点处必有BA,BC,BB1两两垂直,取B1B的中点Q,连QN,分别计算出四棱锥N-CBB1C1和三棱锥C-ABN的体积,即可得到答案.
考试点:直线与平面平行的判定;组合几何体的面积、体积问题.
知识点:本题主要考查线面平行与垂直关系,及多面体的体积计算等基础知识,考查空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力.其中根据已知三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键.