已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形. (Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB1; (Ⅱ)求这个几何体的体积.
问题描述:
已知某几何体的直观图和三视图如图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.
(Ⅰ)若M为CB中点,证明:MA∥平面CNB1;
(Ⅱ)求这个几何体的体积.
答
(Ⅰ)证明:取CB1的中点P,连MP,∵已知M为CB中点,∴MP∥BB1且MP=
BB11 2
由三视图可知,四边形ABB1N为直角梯形,∴AN∥BB1且AN=
BB1(2分)1 2
∴MP∥AN且MP=AN,∴四边形ANPM为平行四边形,∴AM∥NP,(4分)
又AM⊄平面CNB1,PN⊂平面CNB1,∴AM∥平面CNB1(6分)
(Ⅱ)∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形,
∴BA,BC,BB1两两垂直.
∴BC⊥BA,BC⊥B1B且BB1与BA相交于B,
∴BC⊥平面AB1BN,BC为三棱锥C-ABN的高(8分)
取B1B的中点Q,连QN,∵四边形ABB1N为直角梯形且AN=
BB1=4,1 2
四边形ABQN为正方形,NQ⊥BB1,又BC⊥平面ABB1N,∵QN⊂平面ABB1N∴BC⊥NQ,且BC与BB1相交于B,∴NQ⊥平面C1B1BC,NQ为四棱锥N-CBB1C1的高(10分)
∴几何体ABC-NB1C1的体积V=VC−ABN+VN−CBB1C1=
CB•S△ABN+1 3
NQ•SBCC1B11 3
=
×4×1 3
×4×4+1 2
×4×4×8=1 3
(12分)160 3