计算二重积分∫∫xydxdy,其中D为直线y=x与y=x^2所围成的平面区域
问题描述：
计算二重积分∫∫xydxdy,其中D为直线y=x与y=x^2所围成的平面区域
答
曲线交点(0,0),(1,1)
∫∫xydxdy=∫(0,1)xdx∫(x^2,x)ydy
=∫(0,1)x[x^2-x^4]/2dx
=[x^3/3-x^6/6]/2 |(0,1)
=1/12
答
首先确定积分区间：
令x=x²
x(x-1)=0
x=0或x=1
积分区间[0，1]，在此区间上，x²≤x (只有两边界取等号)
∫∫(0 1)xydxdy
=∫(0 1)xdx∫(x² x)ydy
=∫(0 1)x[y²/2|(x² x)]dx
=(1/2)∫(0 1)x(x² -x⁴)dx
=(1/2)∫(0 1)(x³-x^5)dx
=(1/2)(x⁴/4 -x^6/6)|(0 1)
=(1/2)(1/4-1/6)
=1/24
百度知道上积分区间不好写，我就这么写了：(0 1)，其中，前面的是积分下限，后面的是积分上限，你书写的时候按正常写就可以了。
答
y=x与y=x^2的交点为(0,0)(1,1)
∫∫xydxdy
=∫[0,1]∫[x^2,x]ydyxdx
=∫[0,1]y^2/2[x^2,x]*xdx
=∫[0,1](x^3/2-x^5/2)dx
=(x^4/8-x^6/12)[0,1]
=1/24