设f(u)在[-1,1]上连续,利用变换x=π-t,证明∫(π 0)xf(sinx)dx=π/2*∫(π 0)f(sinx)dx

问题描述:

设f(u)在[-1,1]上连续,利用变换x=π-t,证明∫(π 0)xf(sinx)dx=π/2*∫(π 0)f(sinx)dx

∫(π 0)xf(sinx)dx=∫(0 π)(π-t)f(sin(π-t))=∫(0 π)[πf(sint)-tf(sint)]d(-t)=)=∫(0 π)[πf(sinx)-xf(sinx)]d(-x)=∫(π 0)[πf(sinx)-xf(sinx)]dx
∫(π 0)xf(sinx)dx=π/2*∫(π 0)f(sinx)

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