初等行变换求矩阵的逆矩阵A=1 2 22 1 -22 -2 1求A^-1 A.E- E.A^-1 化简不来感觉很难化简1 2 2 1 0 02 1 -2 0 1 0 2 -2 1 0 0 1 变换为1 0 0 X X X0 1 0 X X X0 0 1 X X X

问题描述：

初等行变换求矩阵的逆矩阵
A=
1 2 2
2 1 -2
2 -2 1
求A^-1
A.E- E.A^-1 化简不来感觉很难化简
1 2 2 1 0 0
2 1 -2 0 1 0
2 -2 1 0 0 1 变换为
1 0 0 X X X
0 1 0 X X X
0 0 1 X X X

答

其实这个也不难
首先因为要把左边的几列化为单位阵，要把某行首元为1的经过行变换到第一行，当然这里不用了，因为第一行的第一个元素就是1，其他行与第一行做运算，就是用其他行加上或者减去n倍的第一行，使第一列除了第一行有个一之外，1下边的就只剩下0了先不看第一行，其他行的运算不论怎么加减第一列肯定不变了，相同的方法处理第二行第三行……最后使原来的矩阵化成了一个上三角型的矩阵（当然，在行变换的时候原来右边的单位阵也是要跟着变换的），然后用上边的行减去下边的行就能变为单位阵了，相对应的右边就是原来矩阵的逆阵你自己再思考一下

答

解: (A,E)=
1 2 2 1 0 0
2 1 -2 0 1 0
2 -2 1 0 0 1

r2-2r1,r3-2r1
1 2 2 1 0 0
0 -3 -6 -2 1 0
0 -6 -3 -2 0 1

r3-r2
1 2 2 1 0 0
0 -3 -6 -2 1 0
0 0 9 2 -2 1

r2*(-1/3), r3*(1/9)
1 2 2 1 0 0
0 1 2 2/3 -1/3 0
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

r2-2r3
1 2 2 1 0 0
0 1 0 2/9 1/9 -2/9
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

r1-2r2-2r3
1 0 0 1/9 2/9 2/9
0 1 0 2/9 1/9 -2/9
0 0 1 2/9 -2/9 1/9

所以 A^-1 =
1/9 2/9 2/9
2/9 1/9 -2/9
2/9 -2/9 1/9

事实上, A^2 = 9E
所以 A^-1 = (1/9)A

答

(A,E)=1 2 2 1 0 02 1 -2 0 1 02 -2 1 0 0 1r2-2r1,r3-2r11 2 2 1 0 00 -3 -6 -2 1 00 -6 -3 -2 0 1r3-r21 2 2 1 0 00 -3 -6 -2 1 00 0 9 2 -2 1r2*(-1/3),r3*(1/9)1 2 2 1 0 00 1 2 2/3 -1/3 00 0 1 2/9 -2/9 1/9r2...

初等行变换求矩阵的逆矩阵A=1 2 22 1 -22 -2 1求A^-1 A.E- E.A^-1 化简不来感觉很难化简1 2 2 1 0 02 1 -2 0 1 0 2 -2 1 0 0 1 变换为1 0 0 X X X0 1 0 X X X0 0 1 X X X

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