直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的32,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+2)π,则旋转体的体积为( )A. 2πB. 4+23πC. 5+23πD. 73π
问题描述:
直角梯形的一个内角为45°,下底长为上底长的
,这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的全面积为(5+3 2
)π,则旋转体的体积为( )
2
A. 2π
B.
π4+
2
3
C.
π5+
2
3
D.
π 7 3
答
这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,
圆的面积,直角腰为半径,长方形的面积,圆的周长为长,上底为宽,扇形的面积,圆的周长为弧长,另一腰则为扇形的半径.
设上底为x,则下底为
x,直角腰为3 2
x,另一腰为整个面积式子为1 2
πx2+πx2+1 4
×
2
πx2=(5+1 4
)π,
2
解得x=±2,因为x>0,所以x=-2舍去,x=2.而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积,圆锥的高,下底减上底得圆锥的高为1,
圆柱体积=Sh=
π r2h=π×12×2=2π,圆锥体积=1 2
π1 3
所以整个几何体的体积为
π.7 3
故选D.
答案解析:由题意可知,这个几何体的面积是圆柱中一个圆加一个长方形加一个扇形的面积,而这个几何体的体积是一个圆锥加一个同底圆柱的体积.再根据题目中的条件求解即可.
考试点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
知识点:本题考查学生的空间想象能力,和逻辑思维能力,等量之间的转换,是中档题.