如图,∠AOB=45°,角内一点P,PO=10,两边上各有点Q,R(均不同于O),则△PQR的周长的最小值为 ___ .
问题描述:
如图,∠AOB=45°,角内一点P,PO=10,两边上各有点Q,R(均不同于O),则△PQR的周长的最小值为 ___ .
答
知识点:考查等腰直角三角形的判定和性质,轴对称的性质等知识的综合应用.
如图,作出点P关于OA的对称点E,作出点P关于OB的对称点F,连接EF,交OA于Q,交OB于R.连接PQ,PR,PE,PF,OE,OF.
则PQ=EQ,PR=RF,
则△PQR的周长=PQ+QR+PR=EQ+QR+RF=EF.
∵∠AOP=∠AOE,∠POB=∠FOB,∠AOB=∠AOP+∠POB=45°,
∴∠EOF=90°,
又∵OE=OP,OF=OP,
∴OE=OF=10,
即△EOF是等腰直角三角形,
∴EF=
OP=10
2
,
2
所以△PQR的周长的最小值为10
.
2
答案解析:设点P关于OA的对称点是E,关于OB的对称点是F,当点R、Q在EF上时,△PQR的周长=PQ+QR+PR=EF,此时周长最小.
考试点:轴对称-最短路线问题.
知识点:考查等腰直角三角形的判定和性质,轴对称的性质等知识的综合应用.