已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在旋转的过程中,若直线BE与CD相交于点P,试探究∠APB与∠MAN的关系,并说明理由.

问题描述:

已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=α,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.

(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;
(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;
(3)在旋转的过程中,若直线BE与CD相交于点P,试探究∠APB与∠MAN的关系,并说明理由.

(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.②∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN...
答案解析:(1)因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAE=∠CAD,又因为AB=AC,AD=AE,利用SAS可证出△BAE≌△CAD,可知BE、CD是对应边,根据全等三角形对应边上的中线相等,可证△AMN是等腰三角形.
(2)利用(1)中的证明方法仍然可以得出(1)中的结论,思路不变.
(3)先证出△ABM≌△ACN(SAS),可得出∠CAN=∠BAM,所以∠BAC=∠MAN(等角加等角和相等),又因为∠BAC=∠DAE,所以∠MAN=∠DAE=∠BAC,所以△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形,所以∠PBD=∠AMN,所以△PBD∽△AMN(两个角对应相等,两三角形相似).
考试点:全等三角形的判定与性质.


知识点:本题考查的是全等三角形的判定与性质及图形旋转的性质,解答此题时要熟知全等三角形的SAS、SSS及ASA的判定定理.