(1)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE、CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;(2)交换(1)中的条件与结论,得到(1)的一个逆命题:已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,E是BC上一点,AE与CD相交于点F,若∠CFE=∠CEF,则∠CAE=∠BAE.你认为这个问题是真命题还是假命题?若是真命题,请给出证明;若是假命题,请举出反例.
问题描述:
(1)已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE、CD相交于点F.求证:∠CFE=∠CEF;
(2)交换(1)中的条件与结论,得到(1)的一个逆命题:
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,E是BC上一点,AE与CD相交于点F,若∠CFE=∠CEF,则∠CAE=∠BAE.你认为这个问题是真命题还是假命题?若是真命题,请给出证明;若是假命题,请举出反例.
答
(1)证明:∵∠ACB=90°,CD是高,∴∠ACD+∠CAB=90°,∠B+∠CAB=90°,∴∠ACD=∠B;∵AE是角平分线,∴∠CAE=∠BAE;∵∠CFE=∠CAE+∠ACD,∠CEF=∠BAE+∠B,∴∠CFE=∠CEF;(2)真命题.证明:∵∠ACB=90°,C...
答案解析:(1)先根据在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高可得出∠ACD+∠CAB=90°,∠B+∠CAB=90°,故∠ACD=∠B,再根据AE是角平分线可知∠CAE=∠BAE,进而可得出结论;
(2)由(1)可知∠ACD=∠B,再根据∠CFE=∠CAE+∠ACD,∠CEF=∠BAE+∠B,∠CFE=∠CEF得出∠CAE=∠BAE,进而得出结论.
考试点:三角形内角和定理;三角形的角平分线、中线和高;命题与定理.
知识点:本题考查的是三角形内角和定理,熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键.