设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f′(x)≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
问题描述:
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f′(x)≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)=x.
答
证明:令g(x)=f(x)-x x∈(0,1)因为:0<f(x)<1所以:g(0)=f(0)-0=f(0)>0g(1)=f(1)-1<0所以:g(0)g(1)<0,因为函数f(x)可微分,故f(x)连续,因此g(x)肯定连续根据零点定理,...
答案解析:令函数g(x)=f(x)-x,根据零点定理,已知g(x)有零点;在根据反证法证明g(x)至多有一个零点即可.
考试点:A:多元函数连续、可导、可微的关系 B:连续函数的性质 C:零点定理及其推论的运用
知识点:本题综合考察了零点定理及其推论,证明有一定的灵活性,属于中档题.