从甲乙两题中选作一题，如果两题都做，只以甲题计分 题甲：已知矩形两邻边的长a、b是方程x2−(k+1)x+1/4k2+1＝0的两根． （1）求k的取值范围； （2）当矩形的对角线长为5时，求k的值； （3

答

（1）由题意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）≥0，
解得：k≥

3

2

；
故k的取值范围是k≥

3

2

；
（2）∵a、b是方程x²−(k+1)x+

1

4

k2+1＝0的两根．
∴a+b=k+1，ab=

1

4

k²+1，
∴（a+b）²=（k+1）²
∴a²+b²+2ab=k²+2k+1，
∴a²+b²=

1

2

k²+2k-1．
∵a²+b²=（

5

）²，
∴

1

2

k²+2k-1=5，
解得：k₁=-6（舍去），k₂=2
∴k=2．
（3）由题意，得
[-（k+1）]²-4×1×（

1

4

k²+1）=0，
解得：k=

3

2