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已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A.a≥-1 B.a≤-1 C.a≥-15 D.a≤-15

分类: 作业答案 • 2022-07-12 17:32:21
问题描述：

已知不等式xy≤ax2+2y2，若对任意x∈[1，2]且y∈[2，3]，该不等式恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. a≥-1
B. a≤-1
C. a≥-15
D. a≤-15

答

由题意可知：不等式xy≤ax2+2y2对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
即：a≥

y
x
-2（
y
x
）2，对于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，
令t=
y
x
，根据右图可知则1≤t≤3，
∴a≥t-2t2在[1，3]上恒成立，
∵y=-2t2+t=-2（t-
1
4
）2+
1
8
，1≤t≤3，
∴ymax=-1，
∴a≥-1
故选A．

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