f(x)在[a,b]连续,当且仅当 对任意实数m,满足f(x)>=m的x的集合为闭集 怎么证明?
问题描述：
f(x)在[a,b]连续,当且仅当 对任意实数m,满足f(x)>=m的x的集合为闭集 怎么证明?
答
因为f在[a,b]上连续,所以s:=max{f(x)| x属于[a,b]}=m}={x属于[a,b]|m反方向： M:={x属于[a,b] | f(x) Mc:={x属于[a,b] | f(x)>m}为开集。在实数中的任何一个开集都可以表达成开区间的交集或并集。所以为了便于描述， 设： 实数中的开集为 U:=(m,无穷) 的形式, 那么 f^{-1}(U)={x属于[a,b] | f(x)>m}=Mc 是开集 f 连续