以直线x=y=z为对称轴,半径为R=1的圆柱面方程为什么?

|（x,y,z）×（1,1,1）|=1
即|（y-z,z-x,x-y）|=1
解得,（y-z）^2+（z-x）^2+（x-y）^2=1
这就是所求的圆柱面方程,
可以化简成为
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1/2不对，好像要用三角形重心，M’=（x+y+z/3，x+y+z/3，x+y+z/3，）答案铁定是对的，方法你可能不懂，仅此而已我们老师说答案是(y-x)2+(x-z)2+(y-z)2=3,解题步骤是在圆柱面是取点M（x,y,z）,作一平面垂直直线x=y=z,且与其交于点M’，可求M'=（x+y+z/3，x+y+z/3，x+y+z/3，）,由MM'=1得出答案，可是我看不懂这个方法，求指导设平面方程为（平面法向量为（1,1,1）)
（X-x）+（Y-y）+（Z-z）=0
代入X=Y=Z
即可求得：X=Y=Z=(x+y+z)/3
圆柱面方程为
(x-X)^2+(y-Y)^2+(z-Z)^2=1
化简即可。

我的答案确实有点问题：
|（x，y，z）×（1，1，1）|/|（1，1，1）|=1
即|（y-z，z-x，x-y）|=√3
解得，（y-z）^2+（z-x）^2+（x-y）^2=3
这就是所求的圆柱面方程，
可以化简成为
x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=3/2