如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上,点N在射线AQ上,且直线MN过点C,其中AB=36米,AD=20米.记三角形花园AMN的面积为S.(Ⅰ)问:DN取何值时,S取得最小值,并求出最小值;(Ⅱ)若S不超过1764平方米,求DN长的取值范围.

问题描述:

如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上,点N在射线AQ上,且直线MN过点C,其中AB=36米,AD=20米.记三角形花园AMN的面积为S.

(Ⅰ)问:DN取何值时,S取得最小值,并求出最小值;
(Ⅱ)若S不超过1764平方米,求DN长的取值范围.

(Ⅰ)设DN=x米(x>0),则AN=x+20.
因为DC∥AB,所以△NDC∽△NAM
所以

DN
DC
AN
AM

所以
x
36
x+20
AM
,即AM=
36(x+20)
x

所以S=
1
2
×AM×AN=
18(x+20)2
x
…(4分)
=18(x+
400
x
+40)≥1440
,当且仅当x=20时取等号.
所以,S的最小值等于1440平方米.…(8分)
(Ⅱ)由S=
18(x+20)2
x
≤1764
得x2-58x+400≤0.…(10分)
解得8≤x≤50.
所以,DN长的取值范围是[8,50].…(12分)
答案解析:(Ⅰ)由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM,从而AN,AM用DN表示,利用三角形的面积公式表示出面积,再利用基本不等式求最值,注意等号何时取得.
(Ⅱ)由S不超过1764平方米,建立不等式,从而可求DN长的取值范围.
考试点:函数模型的选择与应用.

知识点:本题考查将实际问题转化成数学问题的能力,考查解不等式,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.