如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上,点N在射线AQ上,且直线MN过点C,其中AB=36米,AD=20米.记三角形花园AMN的面积为S.(Ⅰ)问:DN取何值时,S取得最小值,并求出最小值;(Ⅱ)若S不超过1764平方米,求DN长的取值范围.
问题描述:
如图,互相垂直的两条公路AP、AQ旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN,要求点M在射线AP上,点N在射线AQ上,且直线MN过点C,其中AB=36米,AD=20米.记三角形花园AMN的面积为S.
(Ⅰ)问:DN取何值时,S取得最小值,并求出最小值;
(Ⅱ)若S不超过1764平方米,求DN长的取值范围.
答
知识点:本题考查将实际问题转化成数学问题的能力,考查解不等式,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.
(Ⅰ)设DN=x米(x>0),则AN=x+20.
因为DC∥AB,所以△NDC∽△NAM
所以
=DN DC
,AN AM
所以
=x 36
,即AM=x+20 AM
.36(x+20) x
所以S=
×AM×AN=1 2
…(4分)18(x+20)2
x
=18(x+
+40)≥1440,当且仅当x=20时取等号.400 x
所以,S的最小值等于1440平方米.…(8分)
(Ⅱ)由S=
≤1764得x2-58x+400≤0.…(10分)18(x+20)2
x
解得8≤x≤50.
所以,DN长的取值范围是[8,50].…(12分)
答案解析:(Ⅰ)由于DC∥AB得出△NDC∽△NAM,从而AN,AM用DN表示,利用三角形的面积公式表示出面积,再利用基本不等式求最值,注意等号何时取得.
(Ⅱ)由S不超过1764平方米,建立不等式,从而可求DN长的取值范围.
考试点:函数模型的选择与应用.
知识点:本题考查将实际问题转化成数学问题的能力,考查解不等式,考查利用基本不等式求最值,属于中档题.