为保护水资源,宣传节约用水,某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动,每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立.(1)求4人恰好选择了同一家公园的概率;(2)设选择甲公园的志愿者的人数为X,试求X的分布列及期望.

问题描述:

为保护水资源,宣传节约用水,某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动,每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家,且每人的选择相互独立.
(1)求4人恰好选择了同一家公园的概率;
(2)设选择甲公园的志愿者的人数为X,试求X的分布列及期望.

(Ⅰ)由题意知本题是一个等可能事件的概率,
设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A.
每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有34种等可能的情况.
事件A所包含的等可能事件的个数为3,
P(A)=

3
34
1
27

即4人恰好选择了同一家公园的概率为
1
27

(Ⅱ)设“一名志愿者选择甲公园”为事件C,则P(C)=
1
3

4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,
∴随机变量X服从二项分布.
X可取的值为0,1,2,3,4.
P(X=i)=
C
i
4
(
1
3
)i(
2
3
)4−i
,i=0,1,2,3,4.
∴X的分布列为:
 X  0
 P  
16
81
 
32
81
 
24
81
 
8
81
 
1
81
∴X的期望为E(X)=4×
1
3
4
3

答案解析:(I)本题是一个等可能事件的概率,每名志愿者都有3种选择,4名志愿者的选择共有34种等可能的情况.满足条件的事件A所包含的等可能事件的个数为3,写出结果.
(II)选择甲公园的志愿者的人数为X,则X可取的值为0,1,2,3,4,4人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数,得到随机变量X服从二项分布.根据二项分布概率公式,写出分布列和期望.
考试点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式;离散型随机变量及其分布列.

知识点:本题主要考查二项分布,每次试验中,事件发生的概率是相同的,各次试验中的事件是相互独立的,每次试验只要两种结果,要么发生要么不发生,随机变量是这n次独立重复试验中实件发生的次数.