求解一道关于微分的题目设函数f(x)满足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x,求f(x)
问题描述：
求解一道关于微分的题目
设函数f(x)满足方程f"(x)+f'(x)-2f(x)=0及f"(x)+f(x)=2e^x,求f(x)
答
由上二式得f''(x)=2e^x-f(x)及f'(x)=3f(x)-2e^x ....(1)
f''(x)=3f'(x)-2e^x
所以2e^x-f(x)=3f'(x)-2e^x
3f'(x)=4e^x-f(x) .....(2)
由(1)(2)得
3f(x)-2e^x=4/3 e^x-f(x)/3
10f(x)/3 =10/3 e^x
f(x)=e^x
答
对于第一个方程,特征方程为t^2+t-2=0,t=1,-2
所以通解为f(x)=C1e^x+C2e^(-2x)
所以f'(x)=C1e^x-2C2e^(-2x)
f''(x)=C1e^x+4C2e^(-2x)
f''(x)+f(x)=2C1e^x+5C2e^(-2x)=2e^x
所以C1=1,C2=0
所以f(x)=e^x