正四面体ABCD的外接球体积为4倍的根号三π,求四面体体积用到了很多三角形的知识,答案看不懂,请大家写清楚
问题描述：
正四面体ABCD的外接球体积为4倍的根号三π,求四面体体积
用到了很多三角形的知识,答案看不懂,请大家写清楚
答
设正四面体A-BCD,H为正三角形BCD的外心（重心）,连结高AH,连结BH,
设棱长a,
BH=(√3a/2)*2/3=√3a/3,
高AH=√（a^2-a^2/3)=√6a/3,
在平面ABH上作AB的垂直平分线MO交AH于O,则AO就是外接球半径R,
△AMO∽△AHB,
AM*AB=AO*AH,
a*a/2=R*√6a/3,
R=√6a/4,
V球=4πR^3/3=(4π/3)*(√6a/4)^3=4√3π,
a^3=16√2,
S△BCD=√3a^2/4,
VA-BCD=S△BCD*AH/3=√2a^3/12=√2*16√2/12=8/3.
正四面体体积为8/3.