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已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）A. 3B. 4C. 32D. 42

分类: 作业答案 • 2022-07-08 09:56:39
问题描述：

已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于（　　）
A. 3
B. 4
C. 3

 2

D. 4
 2

答

设直线AB的方程为y=x+b，由
y＝−x2+3
y＝x+b
⇒x2+x+b-3=0⇒x1+x2=-1，
进而可求出AB的中点M(−
1
2
，−
1
2
+b)，
又∵M(−
1
2
，−
1
2
+b)在直线x+y=0上，
代入可得，b=1，
∴x2+x-2=0，
由弦长公式可求出|AB|＝
 1+12
12−4×(−2)
＝3
 2
．
故选：C．
答案解析：先设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2的值，进而可求AB中M的坐标，代入直线x+y=0中求得b，进而由弦长公式求得|AB|．
考试点：直线与圆锥曲线的综合问题．

知识点：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

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