已知双曲线C经过P1（2,3）,P2（根号2,根号3）两点.1,求双曲线C的方程.2,若P是该双曲线左支上的一点,且∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积S.

另1种方法
1
mx^2-ny^2=1
4m-9n=1
2m-3n=1
m=3n
m=1,n=1/3
x^2-y^2/3=1
2
a^2=1,b^2=3
c^2=a^2+b^2=4,c=2
pf1-pf2=2a=2
f1f2=2c=4
三角形F1PF2中
f1f2^2=pf1^2+pf2^2-2pf1pf2cos60
=(pf1-pf2)^2+pf1pf2
pf1pf2=16-4=12
S=(1/2)pf1pf2*sin60=(1/2)*12*(√3/2)=3√3

4/a^2-9/b^2=1
2/a^2-3/b^2=1
4/a^2-9/b^2=2/a^2-3/b^2
b^2=3a^2
a^2=1
b^2=3
双曲线C的方程x^2-y^2/3=1
c^2=1+3,c=2 (-2,2)
x=-2,y=3
s=1/2*4*3=6

x^2/a^2-y^2/b^2=1
带入P1、P2两点解出a^2和b^2得
双曲线C：x^2/1-y^2/3=1
设P(x0,y0)
则S△F1PF2=1/2*|y0|*4=2|y0|
P(x0,y0)满足两个方程
x0^2/1-y0^2/3=1………………………………………………………………………………1
由 ∠F1PF2=60° 得 |F1P|*|PF2|*cos60°=向量F1P*向量PF2
即 根号((x0-2)^2+y0^2)*根号((x0-2)^2+y0^2)*cos60°=(x0-2)(x0+2)+y0^2………………2
联立式1、2可解得|y0|=1.5倍根号3（其中另一个解|y0|=0.5倍根号3舍去,因为∠F1PF2=60°
是锐角,所以要选较大的|y0|）
So,S△F1PF2=1/2*|y0|*4=2|y0|=3倍根号3
其中便有 双曲线焦点三角形面积公式
若∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b^2*cot（θ/2)或S△F1PF2=b^2*/tan(θ/2)