将n2(n≥3)个正整数1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(n)=(  )8 1 63 5 74 9 2A. 12n(n2+1)B. 12n2(n+1)−3C. 12n2(n2+1)D. n(n2+1)

问题描述:

将n2(n≥3)个正整数1,2,3,…,n2填入n×n方格中,使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等,这个正方形就叫做n阶幻方.记f(n)为n阶幻方对角线的和,如右表就是一个3阶幻方,可知f(3)=15,则f(n)=(  )

8 1 6
3 5 7
4 9 2

A.
1
2
n(n2+1)

B.
1
2
n2(n+1)−3

C.
1
2
n2(n2+1)

D. n(n2+1)

对于3阶幻方,共由1到32,即1到9这9个连续自然数构成,且每一行都相等,
由等差数列得前n项和公式可得,这9个数字之和为

(1+9)×9
2
=45,
再除以3,即可得出f(3)=15.
一般的n阶幻方数字之和为S=1+2+…+n2=
(1+n2n2
2

f(n)=
S
n
=
1
2
n(n2+1)

故选A
答案解析:欲求n阶幻方对角线上数之和,只需求每一行上数之和,由n阶幻方定义可知,n阶幻方由1到n2,共n2个连续自然数构成,且每一行都相等,所以,只需求出所有数之和,再除以n即可得答案.
考试点:进行简单的合情推理.
知识点:本题以幻方题目为载体考查了等差数列的性质.幻方的题很有趣味性,它的幻和的公式可记住,便于以后解此类的问题.