底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 ___ cm3.

问题描述:

底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为

1
2
cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水 ___ cm3

设四个实心铁球的球心为O1,O2,O3,O4,其中O1,O2为下层两球的球心,A,B,C,D分别为四个球心在底面的射影,则ABCD是一个边长为

2
2
的正方形.
所以注水高为1+
2
2

故应注水π(1+
2
2
)-4×
4
3
π(
1
2
3=(
1
3
+
2
2
)π
故答案为:(
1
3
+
2
2
)π.
答案解析:先确定四个球心在底面的射影,构成一个正方形,从而求出注水高,利用柱体的体积减去4个实心铁球的体积,即可求得结论.
考试点:球的体积和表面积;棱柱、棱锥、棱台的体积.

知识点:本题考查体积的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.